Alex é conhecido por seu poder vocal e estreou no mundo da música em 2002, nos Arctic Monkeys. Juntamente com Nick O'Malley, Matt Helders, Jamie Cook e Andy Nicholson, Alex frequentou a Stockbridge High School. Ganhou sua primeira guitarra no Natal em 2001, o que seria fundamental para a formação da banda.

Trabalhou em um bar onde bandas desconhecidas davam pequenos shows. Ele diz: "Realmente me irritava quando bandas vinham e diziam ‘nós temos CDs lá atrás para vender, três libras cada’ você pensa ‘F***-se, quem é que vocês pensam que são? ’". Deste modo o Arctic Monkeys começaram a distribuir em seus shows cópias grátis de seu CD demo, o que eventualmente os conduziu ao sucesso.

Uma das maiores influências líricas para Turner foi o poeta inglês John Cooper Clarke, que o inspirou a compor sobre situações observadas em seu cotidiano, característica essencial nas letras do Arctic Monkeys.

Turner vem sendo comparado a Jarvis Cocker, por muitas das composições que escreve sobre sua própria vida e pelas coisas que tem acontecido àqueles que o rodeiam. Eles têm outras semelhanças, como por exemplo, o fato de ambos serem de Sheffield.

Em 2005, Alex foi considerado a quarta pessoa mais cool do planeta, e o homem mais cool do planeta também pela New Musical Express.

Em 2011 entrou para a Lista dos Mais Ricos do Reino Unido Com Menos de 30 Anos, ficando em 13º lugar, com um patrimônio estimado em £9,070,000 .

Em uma pesquisa recente realizada pela rádio britânica XFM, Alex foi considerado o 10º melhor vocalista de todos os tempos.

Em setembro de 2012 foi considerado pela revista britânica New Music Express (NME), a 4ª maior personalidade da musica nos últimos 60 anos, a frente de nomes como Kurt Cobain, ex-Nirvana.